卡二定理的使用時機 - 國考

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By Gilbert
at 2015-12-01T15:27

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※ 引述《gentle3 (長壽3號)》之銘言:
: 不好意思,請問版上前輩,有關於卡二定理的使用時機,該用於何處?
: 基本上卡二比較方便解桁架,但是碰到梁與剛架,又要寫方程式,又要偏微分,
: 最後又要積分,再總和數值XD...........
: 請問,卡二對於梁與剛架有就讀的必要性嗎?

試著回應您好了...雖然我也不是高考榜首什麼的...不過結構至少有90分ww

根據您說的問題和回應的大大們的說法,
說明一下單位力法、最小功法、以及卡二的差異。

【第一部分】覺得計算量大很麻煩的樣子,不用學?

你說的麻煩應該只是「計算量大」,畢竟M通常是變數,是x的函數,即M=M(x),
不像桁架軸力都是定值,只要加總就好。

寫程式其實就還好,畢竟轉個方向個而已,
如果是考試,放心大家都跟你一樣。

你覺得複雜可能是兩個部分:
(1) 彎矩方程式經驗不足。(這部分要多練習,或是多看,累積經驗,不然M(x)寫太慢)
(2) 覺得列式很煩。(如果是這一點,請看下列方式。)

推薦的方式,就是列表格,譬如一個ㄇ字型Frame(順時針ABCD點),
(裡面的方式程式是我亂舉例的,我的意思是您就這麼做就好了~)
╔══╤══╤═══╗
║桿件│原M │偏微M ║
╠══╪══╪═══╣
║ AB │x-2R│ -2 ║
╠══╪══╪═══╣
║ BC │ x │ 0 ║
╠══╪══╪═══╣
║ CD │x+R │ 1 ║
╚══╧══╧═══╝

或是右邊再多一格相乘之後的值,這樣:
(1) 知道自己在幹嘛
(2) 一目了然,很好檢查。
(3) 錯誤率較低

一般我是這麼做的,基本上書上都直接列,你夠熟也可以直接列,
但我覺得列表比較安全。
然後就很好寫了。

像是今年104年普考有一題,靜不定的桁架,
故意給你一個桿件內力大小(但不給你方向),就變成靜定題目了!
但有些人拉壓力搞錯就直接GG,因為節點法,拉壓力力平衡不管怎麼平衡都會對,
拉力和壓力只有一個變形諧合是正確的,才是那題的答案。
算是滿大的陷阱的(因為國考其實時間每一題時間都很緊迫),
甚至其實用看得就可以知道那題是壓力和拉力(但吃經驗),
所以不放心的話,我當時考完還有時間,刻意用卡二去算算看,
就列表不到10分鐘就搞定了,真的只有一個答案。



【第二部分】3種方法,稍微有點不同,尤其是單位力法!

1. 卡二:應變能對贅力的偏微分,等於贅力方向的位移量(若為靜定,最後贅力代0)。
好處是,贅力R由重疊原理可以直接丟到M方程式裡面計算,一次搞定。

2. 最小功法:應變能對贅力的偏微分為0(卡二的位移量未必是0),為卡二的特例,
通常是設不移動支承的力為贅力會用到,總之也是卡二。並不是靜不定就是最小功法唷~

3. 單位力法:「虛外力 x 真外位移 = 虛內力 x 真內變形」
單位力法計算過程會和卡二很像,不然答案怎麼會一樣?
就跟能量位法的兩種方法:「卡氏第一定理」和「最小總勢能原理」,
解到後來列式和數字都會相同的這個原理一樣。

但其實單位力法和卡二是不同的原理。
一般我列式不會列什麼「1xδ=(一堆積分式)」,
因為我大學就是這樣學,根本不知道在列什麼式,
就跟當初國中應用題目列式都是在背題目和背列式方法一樣,只是在"背解法和答案",
我都是先寫「虛外力 x 真外位移 = 虛內力 x 真內變形」,再去列式。

單位力法只不過是借用內外能量守恆(虛x實)及簡單的數學式「axb=cxd」,
把abcd的意義改變而已,等號還是成立。
●虛功原理→a和c是實際外力和內力,b和d是虛內外變形。
●單位力法→a和c是虛外力和虛內力,b和d是實際內外變形。(虛補功原理)
但整體而言,還是「力x位移=內力x內變形的和」,不管虛實,等號還是成立。

只是計算過程中,最後會長的和卡二一樣,所以大家都會以為是一樣的東西。
事實上,用單位力法時,通常會畫出兩個結構,
一個是原本外力所作用的結構,
一個是單位力所作用的結構。

因此我右側的積分式會這樣列式:∫n‧dδ+∫m‧dθ+...等等
至於dθ是什麼,材力有教過:曲率κ=dθ/dx=M/EI,ε=dδ/dx=N/EA,
所以再把dθ、dδ代進去就知道了,
就跟你課本寫的一樣。
(若是有扭力什麼的扭力應變能就也一起放進去)
(若是有支承沉陷什麼的,它在式子的左側,它屬於外變形,
單位力算出該支承反力再乘以沉陷量就好了。
反正原理就是「作功」啦~~~你只要知道作功像是內部丟右側,外部丟左側就好了!)

所以為什麼一般題解或是講義、課本常出現用「卡二」,而非單位力法。
因為單位力法雖然也可以解「靜不定結構」,但以單位立法的原理,
會用到兩次單位力法,很麻煩@@
就是在贅力方向設單位力,然後由邊界條件位移=0,求出贅力。
但您想想看,在求的過程中,為了配合變形諧合,把單位力乘以未知的R倍,
後面過程就很像卡二了。
那您卡二不就是「直接假設贅力R」了嗎?何必先設1然後再重疊原理?@@
所以因此對我來說,直接用卡二就好了。
不過您這麼做可以為「柔度矩陣」設下基礎...
因為柔度矩陣就是一堆單位力法(9華的紫煌老師愛用柔度矩陣)
若沒興趣...我是推薦一個我自己的方法:
(雖然我會用柔度...但我真的很少用,
因為國考題目很少靜不定度很高的,研究所不一定...我寫過3度的@@)

【適合度】
●靜不定、靜定解各桿件或支承內力→【卡二=最小功法】
●靜定結構的某個節點位移或轉角→【單位力法>卡二(設R後代0)】
(卡二證明中並沒有說可以用溫度變化等特殊題目,
但可以用等(效)值節點載重就可以用)

不然,靜不定問題求位移您用單位力法,還是等於在用卡二解出贅力。
因為您只是把單位力法的概念,兩個結構重疊原理而已,
簡單講還是「卡二」,那不如一開始就用卡二,比較不會亂!

最後,解「靜不定結構節點位移」的問題,解出贅力後求位移時,
務必討論「基元結構」就好了!!(簡單講就是贅力R把它當外力後的結構)
就是一個靜定結構求位移而已!這樣還比較簡單,剩下就交給單位力法了!
算原結構還要再算一次靜不定...@@

以上只是小弟的學習方式...如果有錯,再請各位前輩指證@@

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Tags: 國考

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Suhail Hany avatar
By Suhail Hany
at 2015-12-06T13:01
認真推
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By Damian
at 2015-12-08T12:33
認真推
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By Kristin
at 2015-12-11T07:42
積分式子裡的 M 是單位力造成的彎舉?
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By Oscar
at 2015-12-13T13:58
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By Queena
at 2015-12-16T09:13
推這篇
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at 2015-12-19T10:53
超詳細說明~推推
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By Una
at 2015-12-19T17:15
土木人推一個

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By Agnes
at 2015-08-19T16:08
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