材力挫曲問題一問 - 土木

<sol>:

(一) 各桿內力

因為AB與BC段在B點的軸向進行並聯，各桿內力可以相對軸向勁度分配如下:

→ Kab=E1*A1/L1= π*r1^2*E1
-----------
L1

Kbc=(E1*A1+E2*A2)/L2= [π*r1^2*E1+π*(r2^2-r1^2)*E2]
-------------------------------
L2


→ Kt=Kab+Kbc

r1^2*E1 r1^2*E1+(r2^2-r1^2)*E2
= π[------- + ---------------------- ]
L1 L2

→ Nab受拉，又因受拉桿件不挫屈，故無挫形(橫向變形)，只有軸向伸長量；亦即AB柱的
挫形為直線，故B點可假設為fixed end。

Kbc r1^2*E1*L1 + (r2^2-r1^2)*E2*L1
Nbc = -----*P = --------------------------------------------- P (壓力)
Kt r1^2*E1*L2 + r1^2*E1*L1 + (r2^2-r1^2)*E2*L1



(二) 斷面性質

因為BC桿為一複合材料(材質不同)，需由轉換斷面法求得等值剛度(E1*It):

準則一:中性軸位置不變；準則二:彎曲曲率不變

即 E1*It = E1*I1+E2*I2

= π/4 * [r1^4*E1 + (r2^4-r1^4)*E2]

註:不可直接將BC段的外環尺寸放大n倍，這樣求得的等值剛度是錯的。矩形斷面才可這樣
做。故須從轉換斷面法的原始定義下手。


(三) 挫屈載重Pcr

π^2*E1*It
令 Nbc = Ncr = -------------- ; k=0.5
(0.5*L2)^2

π^3[r1^2*E1*L2+r1^2*E1*L1+(r2^2-r1^2)*E2*L1 ]*[r1^4*E1+(r2^4-r1^4)*E2]
Pcr = -----------------------------------------------------------------
L1*L2^2 * [ r1^2*E1 + (r2^2-r1^2)*E2 ]


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心得:這題真的出的很漂亮!考到挫屈、並聯串聯、轉換斷面法，而且光是整理式子就　　
　　令人作噁，我上面的式子是已經簡化過了。怪不得此題配了40分，只能說老葉的
　　出題水準真的好的沒話說（帥呀～老葉～）

補充：在解題過程中，小弟假設AB段的挫形為直線，可能還需要進一步的証明，有時間
　　　的話，我再來挑戰看看。但換作我在考場拿到這題...可能還沒證明出來，就已經
　　　打鐘要交卷了。所以，若老葉真要考生證明出來，那我認為此題應該配100分！

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