勞雇糾紛的權益保障問題 - 離職

從去年11月1日開始非正式的接案，到今年2月中公司成立後入職，這個月8號被解雇。

問題如下：

1. 我在某貿易公司擔任Part-time的行政秘書一職，但我自願提出不保勞健保，
也不報所得稅→這樣的勞雇契約成立嗎？
公司的確有叫我填寫人事資料表，也印製名片等等，此外每個月都有薪資袋。
但兼職的工作等於全職一樣在做，問題的根源也是出在雇主「後來」認定我的職位屬於「責任制」，因而關係破局。

2. 因為屬於新公司，規模很小，制度欠缺，雇主曾「口頭」批准7月份出遊兩週的計畫，
但後來六月初新人進公司不到2天就離職，因此又要求我留下。
當時我應允了，但並未對已經造成的損失（國際來回飛機票、境內來回飛機票、活動報名費、旅館住宿費等）提出求償，
是在1個禮拜過後才主動提出這項疑惑，想問是否能夠補貼我一點點的損失？
雇主不答應就算了，反告訴我：明天你就上班最後一天吧！但隔天早上7點40分左右，雇主又傳訊息來告訴我：你今天早上不必來公司，我跟你約中午12點進辦公室。

請問上述情況有何法律依據要求賠償呢？

3. 隔天中午進辦公室收拾物品準備離開公司時，發現雇主偷藏我私人的掛號信。
這封掛號信是經過雇主允諾，才同意寄至公司，4月寄的，我一直問到6月都回覆我沒有收到（公司加上我，只有老闆、老闆娘、另一名業務，4人）
郵務稽查（此名郵務稽查剛好是老闆親戚）在六月底前曾到訪公司向我解釋這封掛號信的確遺失了，但當天我才發現這封掛號信被塞在我抽屜上的一疊舊報紙中。

請問對於這樣的行徑，是否可以有何法律保障的依據可循呢？

小女在此先感謝大家的回覆！（鞠躬）

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